Методы определения суммарного сопротивления последовательной цепи контактов

Автор: Хайцер С. Л., Шнайдер Я. А.

Издание: Вопросы радиоэлектроники, серия ТПС, 1972, вып. 3.

PDF-версия: сохранить pdf версию.


УДК 621.318.5.019.3

С. Л. ХАИЦЕР, Я. А. ШНАЙДЕР

Методы расчета сопротивления последовательно соединенных контактов рассматриваются для двух случаев, когда функция распределения сопротивления одиночных контактов известна и неизвестна; причем в первом случае известны аналитический вид и параметры распределения, во втором -— его гистограмма.

Развитие систем автоматического регулирования, сложных коммутационных и счетно-решающих устройств привело к необходимости создания электрических схем, имеющих цепи с последовательно соединенными электрическими контактами, количество которых в одной цепи может быть от одного—двух до нескольких десятков.

Сопротивление цепи маломощных электрических контактов является случайной величиной, вид функции распределения которой может значительно изменяться для различных нагрузок и контактных материалов. В отдельных случаях для контактов, нагруженных током более 1 а, распределение сопротивлений контактных цепей достаточно хорошо описывается нормальным законом. Для электромагнитных реле РЭС9, РЭС10, РЭС22 и некоторых других распределение сопротивлений контактов приближенно может быть описано логарифмически нормальным распределением. Иногда для малонагруженных электрических контактов используется гамма-распределение, но для многих типов реле найти функцию распределения, дающую приемлимую для практических целен точность, вообще не удается. Именно поэтому для некоторых контактных устройств в технической документации приводится экспериментальное распределение сопротивлений контактных цепей в виде графика накопленных частот, полученного при измерении выборки достаточно большего объема. Чаще всего последовательная цепь электрических контактов состоит из контактов однотипных реле. В некоторых случаях контакты различных реле последовательной цепи (ток для всех контактов одинаков) могут иметь одинаковое распределение.

В данной работе рассматриваются методы расчета сопротивления цепи последовательно соединенных контактов, имеющих одинаковое распределение сопротивлений, т. е. принадлежащих к одной генеральной совокупности. Задача состоит в определении функции распределения Fn(R) суммы п случайных величин сопротивлений контактных цепей rn:

расчет сопротивления цепи

Формула 1

Общая теория суммирования случайных величин, основанная на использовании предельных теорем, в данном случае непригодна, так как она рассматривает предельное поведение суммы п слагаемых при . В дальнейшем для удобства расчетов вместо величины rn введем нормированную функцию

Формула 2

где и 5 — среднее значение и среднеквадратичное отклонение сопротивления одиночного контакта.

Оценкой сходимости функции распределения F (X) к нормальному .чакону является отношение [1]

Формула 3

где ф(X) —нормированная функция Лапласа.

Это отношение отличается от единицы на величину, имеющую порядок [1]. Отсюда видно, что при малых п контактах в последовательной цепи методы суммирования, основанные на предельных теоремах, дают большую погрешность.

В зависимости от того, известно ли распределение сопротивлений отдельной контактной цепи и его вид, могут использоваться различные методы расчета суммарного распределения ограниченного числа последовательно соединенных контактов. Рассмотрим случаи, когда распределение переходного сопротивления отдельного контакта F(R) известно. В этом случае нахождение функции распределения суммы сводится к вычислению последовательной свертки функции:

..................................

Формула 4

где F2(R), F3(R),..., Fn(R) — функции распределения суммы сопротивлений двух, трех и т. д. контактов.

Вычисление свертки функции является трудоемкой операцией; причем для ряда случаев вычислить в общем виде ее невозможно, поэтому приходится прибегать к численному интегрированию.

В некоторых случаях вычисление функции распределения суммы случайных величин облегчается благодаря использованию характеристических функций (при суммировании случайных величин их характеристические функции перемножаются). Характеристическая функция вычисляется по формуле

Формула 5

где ;

Θ-параметр функции исходного распределения.

Характеристическая функция распределения суммы случайных величин будет равна

Формула 6

Путем обратного преобразования Фурье функции Ψ(t,Θ) можно кайти функцию распределения Fn(R) для сопротивления n последовательно соединенных контактов.

Для ряда функций распределения формула (6) может быть представлена в виде

Формула 7

Если для характеристической функции суммы выполняется равенство (7), то распределение такой суммарной величины называется безгранично-делимым.

Как пример проверки, является ли распределение безгранично-де-лимым, рассмотрим гамма-распределение. Функция гамма-распределе-иие случайной величины имеет вид

формула 8

Где Г (р) —полная гамма-функция.

Найдем характеристическую функцию гамма-распределения:

формула 9

Характеристическая функция суммы вычисляется по формуле (6)

формула 10

—есть характеристическая функция суммарного гамма-распределения с параметрами X и пр.

Из сравнения выражений (9) и (10) видно, что гамма-распределение удовлетворяет условию (7) и, следовательно, является безграничноделимым. Аналогично можно показать, что к безгранично-делимым относится нормальное и биномиальное распределения, а также распределение Пуассона.

Как видно из формулы (7), для безгранично-делимых распределений функция распределения суммы п сопротивлений имеет тот же вид, что и распределение сопротивления одиночного контакта. При этом первый и второй центральные моменты увеличиваются в п раз.

Для описания распределения сопротивлений одиночных контактов электромагнитных реле широко используется логарифмически-нормаль-вое распределение. Функция логарифмически-нормального распределения случайной величины г имеет вид

формула 11

где:

a = Mlgr;

a2 = Dlgr;

с = 0,43.

В общем случае оно не относится к классу безгранично-делимых распределений [2], поэтому нахождение суммарного распределения для последовательной цепи из п контактов, сопротивление которых имеег логарифмически-нормальное распределение, затруднительно.

Воспользуемся тем, что логарифмически-нормальное распределение обычно с достаточной для практических целей точностью можно заменить гамма-распределением, которое является безгранично-делимым. Оценки параметров Ли р гамма-распределения можно получить, используя метод моментов:

формула 12,13

Выразим параметры гамма-распределения через параметры логарифмически-нормального распределения. Известно, что k-я момент случайной величины, имеющей логарифмически-нормальное распределение, находится по формуле

формула 14

Откуда математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут равны

формула 15,16

Заменив параметры а и о' цх оценками

(здесь N—количество контактов, по которому получены оценки параметров) и подставив полученные выражения выборочных моментов ло-56 гарифмически-нормального распределения в формулах (12) и (13), получим оценки параметров гамма-распределения:

формула 17

формула 18

Воспользовавшись формулой (10), определим оценки параметров гамма-распределения суммарного сопротивления последовательной цепи кз п контактов:

Следовательно, вероятность того, что сопротивление последовательной иепи из п контактов будет меньше, чем R, равна

формула 19

Для вычисления Fn (R) можно воспользоваться таблицами неполной гамма-функции [3].

Рассмотрим применение предложенного метода расчета для последовательной цепи контактов реле, имеющих распределение сопротивлений, достаточно хорошо аппроксимируемое логарифмически-нормальным законом с параметрами для контактов реле РЭС10 из ПлИ10 lgr-=2,5, S = 0,4 и для контактов из Ср99,9 реле РЭС32 lgr=2, S = 0,3.

Для величии с помощью таблицы неполной гамма-функции определяется функция распределения , которая приведена на рисунке для одного контакта и цепи из двух, четырех, восьми и 12 контактов.

Если распределение сопротивлений цепи одиночного контакта неизвестно и имеется только экспериментальная кривая накопленных частот величин сопротивлений, то задача нахождения функции

может решаться последовательным суммированием вероятностей отдель-ных интервалов величины г (метод перебора) [4] или использованием вероятностных неравенств. Последовательное суммирование вероятностей производится по формуле

формула 20

где Р (r) — вероятность нахождения величины г в данном интервале.

При использовании формулы (20) точность зависит от числа интервалов, на которое разбито исходное, распределение, но с увеличением

числа интервалов резко возрастает трудоемкость расчетов. Поэтому метод перебора может эффективно использоваться при расчете на ЭВМ. В отдельных случаях, когда имеет место ярко выраженное двухвершинное распределение, суммирование может вестись даже по двум интервалам [5]. В качестве примера использования метода перебора рассмотрим последовательное соединение двух одинаковых контактов. Интервалы для исходного распределения сопротивлений r и соответствующие им частости Р (r) приведены в табл. 1.

Применение метода перебора для двух контактов показано в табл. 2. Из таблицы можно определить вероятность того, что суммарное сопротивление двух контактов будет больше или равно R. Например, если . Повторяя процедуру расчетов, можно определить распределение суммарного сопротивления любого количества последовательно-соединенных контактов.

Если в последовательной цепи более 20 контактов и исходное распределение задано экспериментальными данными, причем закон распределения не известен, вместо трудоемкого метода перебора можно использовать вероятностные неравенства типа неравенства Чебышева. В этих случаях можно получить верхнюю оценку для вероятности

Одним из таких неравенств является неравенство Бернштейна [6].

Для сопротивления последовательной цепи однородных контактов, имеющих одинаковые математические ожидания М и дисперсия ст, неравенство Бернштейна имеет вид

формула 21

Это неравенство справедливо только в том случае, если выполняется условие ограниченности всех моментов, т. е. существует такая постоянная Н, чтобы выполнялось условие

Кроме того, t из неравенства (21) должно удовлетворять условию

Так как r—ограниченная величина, то можно принять [6]

где rmax—максимальное значение сопротивления одиночного контакта, которое для данных условий имеет реальную вероятность, например 0,99.

Приведенные методы позволяют определить функцию распределения сопротивления последовательной цепи контактов практически для всех возможных случаев задания распределения сопротивления одиночного контакта.

Литература

  1. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. Л. Теория вероятностей. Изд. «Наука», 1968.
  2. Прохоров Ю. В. О логнормальном распределении в геохимических задачах. «Теория вероятностей и ее применение». Изд. «Наука», 1965, № 1.
  3. Смирнов Н. В., Большее Л. В. Таблицы математической статистики. Изд. «Наука», 1967.
  4. Гостев В. И. Статистический контроль качества продукции. Изд. «Машиностроение», 1965.
  5. Майхин Э. О., X а й ц е р С. Л. К вопросу определения цепочки последовательно соединенных контактов реле. Сигнальная информация «Поиск», сер. А, № 9, 1969, 1370
  6. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, Гостехиздат, 1946.

Cтатья поступила 28 января 1972 г.